Неравенство Коши-Буняковского
$$\left(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2\leq{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}}$$

$$ \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}{(a_ix+b_i)^2} &= \sum_{i=1}^{n}{(a_i^2x^2+2a_ib_ix+b_i^2)} = \\ &= \sum_{i=1}^{n}{a_i^2x^2} + \sum_{i=1}^{n}{2a_ib_ix} + \sum_{i=1}^{n}{b_i^2} = \\ &= x^2\sum_{i=1}^{n}{a_i^2} + 2x\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} + \sum_{i=1}^{n}{b_i^2} \end{align*} $$ Выполним замены: $$ \begin{align*} A &= \sum_{i=1}^{n}{a_i^2} \\ B &= \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} \\ C &= \sum_{i=1}^{n}{b_i^2} \end{align*} $$ Получим квадратное неравенство: $$Ax^2+2Bx+C\geq{0}$$ Т.е. $Ax^2+2Bx+C$ целиком лежит выше оси $x$ и либо не имеет корней, либо имеет один корень.
Из этого следует, что дискрименант $(2B)^2-4AC\leq{0}$. Отсюда: $$ \begin{align*} (2B)^2-4AC &\leq {0} \\ 4B^2 &\leq {4AC} \\ B^2 &\leq {AC} \end{align*} $$ Выполним обратные замены: $$ \left(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2\leq{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}} $$