Комплексное число
Комплексным числом называется упорядоченная пара $(a,b), a,b\in\mathbb{R}$.
Множество комплексных чисел обозначается $\mathbb{C}$.

Аксиомы комплексных чисел:

1. $(a,b)=(c,d) \iff a=c \land b=d$
2. $(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$
3. $(a,b)\cdot(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$

$(x,0)\equiv{x}\implies\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$

Свойства операций над комплексными чиселами
$\forall{x,y,z}\in\mathbb{C}$:

1. $x+y=y+x$
2. $xy=yx$
3. $(xy)z=x(yz)$

Мнимая единица: $$i:=(0,1)$$

$i^2=i\cdot{i}=(0,1)\cdot(0,1)=(0-1, 0+0)=(-1,0)\equiv{-1}$

Алгебраическая форма комплексного числа:$$z=a+bi$$

Модуль комплексного числа: $$|z|:=\sqrt{a^2+b^2}$$ Свойства:

1. $|xy|=|x||y|$
2. $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$

Комплексно сопряженное число: $$\forall{z}=a+bi \ \exists \bar{z}=a-bi$$ Свойства:

1. $\overline{x\pm{y}}=\bar{x}\pm\bar{y}$
2. $\overline{xy}=\bar{x}\bar{y}$
3. $\overline{\left(\frac{x}{y}\right)}=\frac{\bar{x}}{\bar{y}}$
4. $z\bar{z}=|z|^2$

Деление комплексных чисел:
$$\boldsymbol{\frac{x}{y}}=\frac{x}{y}\cdot\frac{\bar{y}}{\bar{y}}=\frac{x\bar{y}}{y\bar{y}}=\boldsymbol{\frac{x\bar{y}}{|y|^2}}$$

Тригонометрическая форма комплексного числа: $$z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)$$

Формула Эйлера: $$e^{i\phi}=(\cos\phi+i\sin\phi)$$

Показательная форма комплексного числа: $$z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)=\boldsymbol{|z|e^{i\phi}}$$

Умножение и деление комплексного числа в показательной форме: $$|x|e^{i\phi}\cdot{|y|e^{i\theta}}=|x||y|e^{i(\phi+\theta)}$$ Т.е. модули умножаются, аргументы (углы) складываются.
$$\frac{|x|e^{i\phi}}{|y|e^{i\theta}}=\frac{|x|}{|y|}e^{i(\phi-\theta)}$$ Т.е. модули делятся, аргументы (углы) вычитаются.

Комплексные корни: $$ \begin{aligned} & z=\sqrt[n]{a} \\ & (|z|e^{i\theta})=\sqrt[n]{|a|e^{i\alpha}} \\ & (|z|e^{i\theta})^n=|a|e^{i\alpha} \\ & |z|^ne^{in\theta}=|a|e^{i\alpha} \implies \\ & \implies \begin{cases} |z|^n=|a| \\ n\theta = \alpha + 2\pi{k},\quad k\in\mathbb{Z} \end{cases} \implies \\ & \implies \begin{cases} |z|=\sqrt[n]{|a|} \\ \theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2\pi{k}}{n},\quad k=1,\cdots,(n-1) \end{cases} \end{aligned} $$ Всего имеется $n$ комплексных корней.