2.1. Предел последовательности


$\epsilon$-окрестность точки

Интервал $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ называется $\epsilon$-окрестностью точки $a$ и обозначается $V_a(\epsilon)$ или $V_a$, если значение $\epsilon$ несущественно.


Предел последовательности

Пусть $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность вещественных чисел. Число $a\in\mathbb{R}$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$ и пишут: $$\lim_{n\to\infty}x_n=a\ \text{или}\ x_n\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}a,$$ если для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что для всех номеров $n$, больших $N$, выполняется неравенство $|x_n-a|\lt\epsilon$: $$\forall\epsilon\gt{0}\ \exists{N}\in\mathbb{N}: \forall{n}\in\mathbb{N}, n\gt{N}\hookrightarrow |x_n-a|\lt\epsilon$$ $$(\forall{V_a}\ \exists{N}\in\mathbb{N}: \forall{n}\in\mathbb{N}, n\gt{N}\hookrightarrow{x_n\in{V_a}})$$


Метрика

Функция $\rho:X\times{X}\to\mathbb{R}_+$ называется метрикой (расстоянием) в множестве $X$, если она удовлетворяет следующим условиям:

  • $\rho(x,y)=0 \iff x=y,\ x,y\in{X}$
  • $\rho(x,y)=\rho(y,x),\ x,y\in{X}$
  • $\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z),\ x,y,z\in{X}$


Метрическое пространство

Пара $(X, \rho)$ - множество с метрикой в нем - называется метрическим пространством.


Подпространство метрического пространства

Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство и $Y\subset{X}$, тогда метрическое пространство $(Y, \rho|_{Y\times{Y}})$ - называется подпространством метрического пространства $(X, \rho)$.

Евклидова метрика (расстояние) в $\mathbb{R}^m$ $$\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^m(x_k-y_k)^2}.$$ Евклидова метрика в $\mathbb{C}^m$ $$\rho(z,w)=\sqrt{\sum_{k=1}^m|z_k-w_k|^2}.$$
Множество $\mathbb{C}^m=\mathbb{R}^{2m}$. Если обозначить $z_k=x_k+iy_k$, то точку $z=(z_1,\dots,z_m) \in \mathbb{C}^m$ можно рассматривать как точку $z=(x_1,y_1\dots,x_m,y_m) \in \mathbb{R}^{2m}$. При этом расстояния между точками $z$ и $w\ (w_k=u_k+iv_k)$ как элементами $\mathbb{C}^m$ и $\mathbb{R}^{2m}$, определенные формулами выше, совпадают, т.к. $|z_k-w_k|^2=(x_k-u_k)^2+(y_k-v_k)^2$.

Следующие понятия естественным образом обобщают понятия шара и сферы в $\mathbb{R}^3$, круга и окружности в $\mathbb{R}^2$, интервала и отрезка в $\mathbb{R}$.

Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство, $a\in{X},r\in\mathbb{R},r\gt0$.

Открытый шар (окрестность)

Множество $$B(a,r)=\{x\in{X}:\rho(x,a)\lt{r}\}$$ называется открытым шаром радиуса $r$ с центром в точке $a$ или окрестностью ($r$-окрестностью) точки $a$ и обозначается $V_a(r)$ или $V_a$, если значение $r$ несущественно.


Замкнутый шар

Множество $$\bar{B}(a,r)=\{x\in{X}:\rho(x,a)\le{r}\}$$ называется замкнутым шаром.


Сфера

Множество $$S(a,r)=\{x\in{X}:\rho(x,a)=r\}$$ называется сферой.


Предел последовательности в метрическом пространстве

Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство, $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность в $X$. Точка $a\in{X}$ называется пределом последовательности ${x_n}$ и пишут $$\lim_{n\to\infty}x_n=a\ \text{или}\ \underset{n\to\infty}{x_n\longrightarrow{a}},$$ если для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что для всех номеров $n$, больших $N$, выполняется неравенство $\rho(x_n,a)\lt\epsilon$: $$\forall\epsilon\gt0\ \exists{N}\in\mathbb{N}:\ \forall{n}\in\mathbb{N},n\gt{N}\hookrightarrow\rho(x_n,a)\lt\epsilon.$$ $$(\forall{V_a}\ \exists{N}\in\mathbb{N}:\ \forall{n}\in\mathbb{N},n\gt{N}\hookrightarrow{x_n\in{B(a, \epsilon)}})$$

Сходимость в метрическом пространстве $(X, \rho)$ называется еще сходимостью по метрике (расстоянию) $\rho$.

Теорема 2.1. О единственности предела последовательности
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если $x_n\to{a},\ x_n\to{b}\implies a=b$.
Доказательство

Предположим противное: пусть $a\neq{b}$. Тогда по первой аксиоме $\rho(a,b)\gt0$. Возьмем $\epsilon=\frac{\rho(a,b)}{2}$. По определению предела найдутся такие $N_1,N_2$, что $\rho(x_n,a)\lt\epsilon\ \forall{n}\gt{N_1}$ и $\rho(x_n,b)\lt\epsilon\ \forall{n}\gt{N_2}$. Тогда если $n\gt\max\{N_1, N_2\}$, то по аксиоме расстояния $$\rho(a,b) \leq \rho(x_n,a)+\rho(x_n,b) \lt \epsilon + \epsilon = \rho(a,b),$$ что абсурдно.


Ограниченное множество в метрическом пространстве

Подмножество $D$ метрического пространства $X$ называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре: $$\exists{a}\in{X}, R\gt0:\ D \subset \bar{B}(a,R).$$


Ограниченная последовательность

Последовательность $\{x_n\}$ в метрическом пространстве $X$ называется ограниченной, если множество ее значений ограничено: $$\exists{a}\in{X}, R\gt0:\ \forall{n}\in\mathbb{N} \hookrightarrow \rho(x_n, a) \leq R.$$


Теорема 2.2.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство

Пусть $x_n\to{a}$. Взяв $\epsilon=1$, подберем такой номер $N$, что для всех $n\gt{N}$ будет $\rho(x_n,a)\lt1$. Положим $$R = \max\{\rho(x_1,a),\rho(x_2,a),\dots,\rho(x_N,a), 1\},$$ тогда $\rho(x_n,a)\leq{R}$ для всех $n\in\mathbb{N}$.


Теорема 2.3. Предельный переход в неравенстве.
Пусть $\{x_n\},\{y_n\}$ - вещественные последовательности, $x_n\leq{y_n}\ \forall{n}\in\mathbb{N},\ a,b\in\mathbb{R},x_n\to{a},y_n\to{b}$. Тогда $a\leq{b}$.
Доказательство

Предположим противное: пусть $a\gt{b}$. Тогда $\epsilon=\frac{a-b}{2}$ положительно. По определению предела найдутся такие $N_1, N_2$, что $a-\epsilon \lt x_n$ для всех $n \gt N_1$, а $y_n \lt b + \epsilon$ для всех $n \gt N_2$. Значит, если $n \gt \max{N_1, N_2}$, то $$y_n \lt b + \epsilon = \frac{a+b}{2} = a - \epsilon \lt x_n,$$ что противоречит условию.


Теорема 2.4. О сжатой последовательности.
Пусть $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ - вещественные последовательности, $x_n\leq{y_n}\leq{z_n}\ \forall{n}\in\mathbb{N},\ a\in\mathbb{R},x_n\to{a},z_n\to{a}$. Тогда $y_n\to{a}$.
Доказательство

Возьмем $\epsilon\gt{0}$. По определению предела найдутся такие номера $N_1, N_2$, что $a-\epsilon\lt{x_n}\ \forall{n}\gt{N_1},\quad z_n\lt{a+\epsilon}\ \forall{n}\gt{N_2}$. Положим $N=max\{N_1, N_2\}$. Тогда при всех $n\gt{N}$ $$a-\epsilon \lt x_n \le y_n \le z_n \lt a+\epsilon.$$ В силу произвольности $\epsilon$ предел $\{y_\}$ существует и равен $a$.


Бесконечно малая последовательность

Последовательность вещественных или комплексных чисел называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.

Т.о., в метрическом пространстве стермление последовательности $\{x_n\}$ к $a$ равносильно тому, что последовательность $\{\rho(x_n,a)\}$ бесконечно малая.

Лемма 2.1.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если $\{x_n\},\{y_n\}$ - числовые последовательности, $\{x_n\}$ - бесконечно малая, $\{y_n\}$ ограничена, то $\{x_n\cdot{y_n}\}$ - бесконечно малая.
Доказательство

В силу ограниченности $\{y_n\}$ найдется такое $K\gt{0}$, что $|y_n|\leq{K}$ при всех $n$. Возьмем $\epsilon\gt{0}$. По определению предела последовательности существует такое $N$, что $|x_n|\leq\frac{\epsilon}{K},\ \forall{n}\gt{N}$. Но тогда для всех $n\gt{N}$ $$|x_n\cdot{y_n}|\lt\frac{\epsilon}{K}\cdot{K}=\epsilon.$$ В силу произвольности $\epsilon$ это и означает, что $x_ny_n\to{0}$.


Векторное пространство (линейное множество)

Пусть $K$ - поле, $X$ - множество, и над элементами $X$ и $K$ определены две операции: сложение $X\times{X}\overset{+}{\longrightarrow}X$ и умножение $K\times{X}\overset{\cdot}{\longrightarrow}X$, удовлетворяющие следующим условиям:

  1. $(x+y)+z=x+(y+z),\ \forall{x,y,z}\in{X}$
  2. $x+y=y+x,\ \forall{x,y}\in{X}$
  3. $\exists{\theta}\in{X}:\ \forall{x}\in{X}\hookrightarrow 0\cdot{x}=\theta$
  4. $(\lambda + \mu)x = \lambda{x} + \mu{x},\ \forall{x}\in{X},\forall{\lambda,\mu}\in{K}$
  5. $\lambda(x+y) = \lambda{x} + \lambda{y},\ \forall{x,y}\in{X},\forall{\lambda}\in{K}$
  6. $(\lambda\mu)x = \lambda(\mu{x}),\ \forall{x}\in{X},\forall{\lambda,\mu}\in{K}$
  7. $1\cdot{x}=x,\ \forall{x}\in{X}$
Тогда $X$ называется векторным пространством или линейным множеством над полем $K$. Элементы $X$ называются векторами, элементы $K$ - скалярами, а свойства 1-7 - аксиомами векторного пространства. Элемент $\theta$ из аксиомы 3 называется нулем (нулевым вектором) пространства $X$.


Норма в векторном пространстве

Пусть $X$ - векторное пространство над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Нормой в $X$ называется функция $p:X\to\mathbb{R}_+$, удовлетворяющая следующим условиям.

  1. Положительная определенность: $p(x)=0\Longleftrightarrow x=\theta$
  2. Положительная однородность: $p(\lambda{x})=|\lambda|p(x)$
  3. Неравенство треугольника (полуаддитивность): $p(x+y)\leq{p(x)+p(y)}$
Принятое обозначенте нормы: $p(x)=\Vert{x}\Vert$.

Понятие нормы обобщает понятие длины вектора.

Полунорма

Есди функция $p:X\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет аксиомам нормы 2 и 3, то $p$ называется полунормой.


Нормированное векторное пространство

Пара $(X, \Vert\cdot\Vert)$ - называется нормированным пространством.


Лемма 2.2.
Свойства полунорм:
  1. $p\left(\sum_{k=1}^n\lambda_kx_k\right)\leq\sum_{k=1}^n|\lambda_k|p(x_k)$.
  2. $p(\theta)=0$.
  3. $p(-x)=p(x)$.
  4. $|p(x)-p(y)|\leq{p(x-y)}$.
Доказательство

Первое свойство получается из индукции. Для доказательства свойств 2 и 3 надо подставить $\lambda=0$ и $\lambda=-1$ в аксиому 2. Докажем свойство 4. По неравенству треугольника $$p(x)=p(x-y+y) \leq p(x-y)+p(y).$$ $$p(x)-p(y) \leq p(x-y).$$ Меняя $x$ и $y$ местами, получаем $$p(y)=p(y-x+x) \leq p(y-x)+p(x)$$ $$p(y)-p(x) \leq p(y-x)=p(x-y).$$ Из двух неравенств получаем, что $|p(x)-p(y)| \leq p(x-y)$.

Евклидова норма в $\mathbb{R}^m$ (длина вектора): $$\Vert{x}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^mx_k^2}.$$ Евклидова норма в $\mathbb{C}^m$: $$\Vert{z}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^m|z_k|^2}.$$
Если $\left(X, \Vert\cdot\Vert\right)$ - нормированное пространство и $\rho(x,y)=\Vert{x-y}\Vert$, то $\rho$ - метрика в $X$ (выполнение аксиом очевидно). В этом случае говорят, что метрика $\rho$ порождена нормой.

Предел последовательности в нормированном пространства

Пусть $(X, \Vert\cdot\Vert)$ - нормированное пространство, $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность в $X$. Точка $a\in{X}$ называется пределом последовательности ${x_n}$ и пишут $$\lim_{n\to\infty}x_n=a\ \text{или}\ \underset{n\to\infty}{x_n\longrightarrow{a}},$$ если для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что для всех номеров $n$, больших $N$, выполняется неравенство $\Vert{x_n - a}\Vert\lt\epsilon$: $$\forall\epsilon\gt0\ \exists{N}\in\mathbb{N}:\ \forall{n}\in\mathbb{N},n\gt{N}\hookrightarrow\Vert{x_n-a}\Vert\lt\epsilon.$$

Сходимость в нормированном пространстве $(X, \Vert\cdot\Vert)$ называется сходимостью по норме (метрике, порожденной нормой).

Ограниченное множество в нормированном пространстве

Подмножество $D$ нормированного пространства $X$ называется ограниченным, если: $$\exists{R}\gt{0}: \forall{x}\in{D} \hookrightarrow \Vert{x}\Vert\leq{R}.$$

Если метрика порождена нормой, то $\Vert{x}\Vert=\rho(x,\theta)$. Однако метрика может не порождаться нормой по следующим причинам. Во-первых, метрическое пространство может не быть векторным (никакие алгебраические операции с точками метрического пространства не определены). Во-вторых, даже если метрическое пространство является векторным, $\rho(x,\theta)$ может не быть нормой. Пример: $\rho(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ - метрика в $\mathbb{R}$, но $\rho(x,0)$ - не норма.

Теорема 2.5. Арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве.
Пусть $(X, \Vert\cdot\Vert)$ - нормированное пространство, $\{x_n\},\{y_n\}$ - последовательности в $X$, $\{\lambda_n\}$ - числовая последовательность, $x_0,y_0\in{X}, \lambda_0\in\mathbb{R}\ (\text{или}\ \mathbb{C}), x_n\to{x_0},y_n\to{y_0},\lambda_n\to{\lambda_0}$. Тогда
  1. $x_n+y_n\to{x_0+y_0}$;
  2. $\lambda_nx_n\to{\lambda_0x_0}$;
  3. $x_n-y_n\to{x_0-y_0}$;
  4. $\Vert{x_n}\Vert\to\Vert{x_0}\Vert$.
  5. если $\lambda_n\neq0\ \forall{n}$ и $\lambda_0\neq0$, то $\frac{x_n}{\lambda_n}\to\frac{x_0}{\lambda_0}$.
Доказательство

  1. Возьмем $\epsilon\gt0$. По определению предела найдутся такие номера $N_1, N_2$, что $\Vert{x_n-x_0}\Vert\lt\frac{\epsilon}{2},\ \forall{n}\gt{N_1}$, а $\Vert{y_n-y_0}\Vert\lt\frac{\epsilon}{2},\ \forall{n}\gt{N_2}$. Положим $N=\max\{N_1, N_2\}$. Тогда при всех $n\gt{N}$ будет $$\Vert(x_n+y_n)-(x_0+y_0)\Vert\leq\Vert{x_n-x_0}+\Vert{y_n-y_0}\Vert\lt\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$
  2. По неравенству треугольника $$\Vert\lambda_nx_n-\lambda_0x_0\Vert = \Vert(\lambda_n-\lambda_0)x_n + \lambda_0(x_n-x_0)\Vert \leq |\lambda_n-\lambda_0| \Vert{x_n}\Vert + |\lambda_0| \Vert{x_n-x_0}\Vert.$$ По условию последовательности $\{|\lambda_n-\lambda_0|\},\ \{\Vert{x_n-x_0}\Vert\}$ бесконечно малые, а по Теореме 2.2. последовательность $\{\Vert{x_n}\Vert\}$ ограничена. Следовательно, по Лемме 2.1. оба слагаемых в правой части бесконечно малые и их сумма также бесконечно малая.
  3. Применим доказанные пункты 1 и 2: $$x_n-y_n=x_n+(-1)y_n\to{x_0+(-1)y_0}=x_0-y_0.$$
  4. По 4 свойству нормы и по определению предела последовательности $\forall\epsilon\gt0,\ \exists{N}: \forall{n}\gt{N}\hookrightarrow\Vert{x_n - x_0}\Vert\lt\epsilon$ $$|\Vert{x_n}\Vert - \Vert{x_0}\Vert|\leq\Vert{x_n-x_0}\Vert\lt\epsilon.$$
  5. Достаточно доказать, что $\frac{1}{\lambda_n}\to\frac{1}{\lambda_0}$, т.к. тогда по утверждению 2 получим $$\frac{x_n}{\lambda_n}=x_n\frac{1}{\lambda_n}\to{x_0\frac{1}{\lambda_0}}=\frac{x_0}{\lambda_0}.$$ Поскольку $$\frac{1}{\lambda_n}-\frac{1}{\lambda_0}=(\lambda_n-\lambda_0)\frac{1}{\lambda_0}\frac{1}{\lambda_n},$$ последовательность $\{\lambda_n-\lambda_0\}$ - бесконечно малая, $\frac{1}{\lambda_0}$ - постоянная величина. Остается доказать ограниченность последовательности $\{\frac{1}{\lambda_n}\}$.
    По определению предела для числа $\epsilon=\frac{|\lambda_0|}{2}$ существует такой номер $N$, что $|\lambda_n-\lambda_0|\lt\epsilon\ \forall{n}\gt{N}$. Тогда по свойствам модуля $$|\lambda_n|=|\lambda_0+\lambda_n-\lambda_0|\geq|\lambda_0|-|\lambda_n-\lambda_0|\gt|\lambda_0|-\epsilon=\frac{|\lambda_0|}{2}.$$ Обозначим $k=\min\{|\lambda_1|,\dots,|\lambda_n|,\frac{|\lambda_0|}{2}\}$. Тогда $k\gt0,\ |\lambda_n|\geq{k}\ \forall{n}$. Следовательно, $|\frac{1}{\lambda_0}|\leq\frac{1}{k}\ \forall{n}$, что и означает ограниченность последовательности $\{\frac{1}{\lambda_n}\}$.


Скалярное произведение

Пусть $X$ - векторное пространство над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Функция $\phi:X\times{X}\to\mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$) называется скалярным произведением в $X$ (обозначение: $\phi(x,y)=\langle{x,y}\rangle$), если она удовлетворяет аксиомам скалярного произведения:

  1. Линейность по первому аргументу: для всех $x_1,x_2,y\in{X},\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$) $$\langle{\lambda{x_1}+\mu{x_2},y}\rangle=\lambda\cdot\langle{x_1,y}\rangle+\mu\cdot\langle{x_2,y}\rangle.$$
  2. Эрмитовская симметричность: $$\langle{y,x}\rangle=\overline{\langle{x,y}\rangle}.$$
  3. Положительная определенность: $$\langle{x,x}\rangle\geq0;\ \langle{x,x}\rangle=0 \Longleftrightarrow x=\theta.$$

В вещественном случае скалярное произведение линейно по второму аргументу. В комплексном случае скалярное произведение сопряжённо-линейно по второму аргументу для сохранения третьей аксиомы (положительная определённость). Пример в $\mathbb{C}^m$: $$\langle{x,y}\rangle=\sum_{i=1}^mx_i\overline{y_i}.$$ Проверим линейность по первому аргументу: $$ \begin{align} &\langle{ax+by,z}\rangle=\sum_{i=1}^m(ax_i+by_i)\overline{z_i}=\\ &=a\sum_{i=1}^mx_i\overline{z_i}+b\sum_{i=1}^my_i\overline{z_i}=\\ &=a\langle{x,z}\rangle+b\langle{y,z}\rangle. \end{align}$$ Проверим нелинейность (сопряжённо-линейненость) по второму аргументу: $$ \begin{align} &\langle{x, ay+bz}\rangle=\sum_{i=1}^mx_i\overline{(ay_i+bz_i)}=\\ &=\sum_{i=1}^mx_i(\overline{ay_i}+\overline{bz_i})=\\ &=\overline{a}\sum_{i=1}^mx_i\overline{y_i}+\overline{b}\sum_{i=1}^mx_i\overline{z_i}=\\ &=\overline{a}\langle{x,y}\rangle+\overline{b}\langle{x,z}\rangle. \end{align}$$

Некоторые свойства скалярного произведения.
  1. $\langle{x,y_1+y_2}\rangle=\langle{x,y_1}\rangle+\langle{x,y_2}\rangle$.
  2. $\langle{x,\lambda{y}}\rangle=\overline{\lambda}\langle{x,y}\rangle$.
  3. $\langle{\theta,y}\rangle=\langle{x,\theta}\rangle=0$.
  4. Функция $p(x)=\sqrt{\langle{x,x}\rangle}$ - норма в $X$.
  5. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца: $|\langle{x,y}\rangle|^2\leq \langle{x,x}\rangle\langle{y,y}\rangle$.
  6. Если $x_n\to{x_0}$ и $y_n\to{y_0}$, то $\langle{x_n,y_n}\rangle\to\langle{x_0,y_0}\rangle$.
Доказательство

Свойства 1, 2, 3 следуют из аксиом скалярного произведения 1 и 2.
4. Функция $p(x)=\sqrt{\langle{x,x}\rangle}$ - норма в $X$.
Положительная определённость функции $p$ следует из положительной определенности скалярного произведения.
Положительная однородность функции $p$: $$p(\lambda x)=\sqrt{\langle{\lambda x, \lambda x}\rangle}=\sqrt{\lambda\overline{\lambda}\langle{x,x}\rangle}=\sqrt{|\lambda|^2\langle{x,x}\rangle}=|\lambda|\sqrt{\langle{x,x}\rangle}=|\lambda|p(x).$$ 5. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
Считая $\langle{y,y}\rangle\gt0$ (в противном случае $y=\theta$ и неравенство выполнено), положим $$\lambda=-\frac{\langle{x,y}\rangle}{\langle{y,y}\rangle}.$$ Тогда в силу аксиом скалярного произведения и равенства $\lambda\overline{\lambda}=|\lambda|^2$ $$ \begin{align} &\langle{x+\lambda{y},x+\lambda{y}}\rangle=\langle{x,x}\rangle+\overline{\lambda}\langle{x,y}\rangle+\lambda\langle{y,x}\rangle+|\lambda|^2\langle{y,y}\rangle=\\ &=\langle{x,x}\rangle-\frac{|\langle{x,y}\rangle|^2}{\langle{y,y}\rangle}-\frac{|\langle{x,y}\rangle|^2}{\langle{y,y}\rangle}+\frac{|\langle{x,y}\rangle|^2}{\langle{y,y}\rangle}=\\ &=\langle{x,x}\rangle-\frac{|\langle{x,y}\rangle|^2}{\langle{y,y}\rangle}.\\ \end{align} $$ Таким образом, $$\langle{x,x}\rangle\langle{y,y}\rangle-|\langle{x,y}\rangle|^2=\langle{x+\lambda{y},x+\lambda{y}}\rangle\langle{y,y}\rangle\geq0.$$ Использую норму из п.4, неравенство Коши-Буняковского-Шварца можно записать так: $$|\langle{x,y}\rangle|\leq\Vert{x}\Vert\Vert{y}\Vert.$$ 6. Если $x_n\to{x_0}$ и $y_n\to{y_0}$, то $\langle{x_n,y_n}\rangle\to\langle{x_0,y_0}\rangle$.