1. Вещественные числа


Аксиомы поля

В мн-ве $\mathbb{R}$ определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ и удовлетворяющие следующим свойствам:

  1. Ассоциативность: $(x+y)+z=x+(y+z);\quad (xy)z=x(yz)$
  2. Коммутативность: $x+y=y+x;\quad xy=yx$
  3. Существует нейтральный элемент: $x+0=x;\quad x\cdot{1}=x$
  4. Существует обратный элемент: $x+(-x)=0;\quad xx^{-1}=1 (x\neq{0})$
  5. Дистрибутивность: $x(y+z)=xy+xz$


Аксиомы порядка

Междку элементами $\mathbb{R}$ определено отношение $\leq$ со следующими свойствами:

  1. $\forall{x,y} \hookrightarrow x\leq{y} \lor y\leq{x}$
  2. Транзитивность: $x\leq{y} \land y\leq{z} \implies x\leq{z}$
  3. Антисимметричность: $x\leq{y} \land y\leq{x} \implies x=y$
  4. $x\leq{y} \implies x+z\leq{y+z}\quad\forall{z}$
  5. $0\leq{x} \land 0\leq{y} \implies 0\leq{xy}$


Аксиома Архимеда

Каковы бы ни были положительные числа $x,y\in\mathbb{R}$, существует такое натуральное число $n$, что $nx\gt{y}$.


Аксиома Кантора о вложенных отрезках (аксиома полноты)

Пусть $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность вложенных отрезков, т.е. $$a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \quad \forall{n}\in\mathbb{N}.$$ Тогда существует точка, принадлежащая одновременно всем отрезкам $[a_n, b_n]$, т.е. $$\cap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\neq\emptyset.$$


Ограниченное сверху множество

Мн-во $E\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным сверху, если существует такое число $M\in\mathbb{R}$, что $x\leq{M}$ для всех $x\in{E}$. Число $M$ при это называется верхней гранью мн-ва $E$.


Ограниченное снизу множество

Мн-во $E\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным снизу, если существует такое число $m\in\mathbb{R}$, что $m\leq{x}$ для всех $x\in{E}$. Число $m$ при это называется нижней гранью мн-ва $E$.


Ограниченное множество

Мн-во $E\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу.


Максимум множества

Число $M$ называется максимумом мн-ва $E\subset\mathbb{R}$, если $M\in{E} \land x\leq{M}\ \forall{x}\in{E}$.


Минимум множества

Число $m$ называется минимумом мн-ва $E\subset\mathbb{R}$, если $m\in{E} \land m\leq{x}\ \forall{x}\in{E}$.


Теорема 1.1. Плотность множества рациональных чисел
Во всяком интервале есть рациональное число.
Доказательство

Пусть $a,b\in\mathbb{R}, a\le{b}$. Тогда $\frac{1}{b-a}\gt{0}$, и по аксиоме Архимеда найдется такое $n\in\mathbb{N}$, что $n\gt\frac{1}{b-a}$, т.е. $\frac{1}{n}\le{b-a}$. Положим $c=\frac{[na]+1}{n}$. Тогда $c\in\mathbb{Q}$ и $$ \begin{align} &c \leq \frac{na+1}{n} = a + \frac{1}{n} \le a+(b-a) = b,\\ &c \gt \frac{na-1+1}{n} = a \end{align} $$ т.е. $c\in(a,b)$.


Следствие из Теоремы 1.1.
Во всяком интервале бесконечно много рациональных чисел.
Доказательство

Пусть в некотором интервале $(a,b)$ кол-во рациональных числе конечно. Обозначим через $x_1$ наименьшее из них. Тогда в интервале $(a,x_1)$ нет ни одного рационального числа, что противоречит теореме 1.1.