Дана последовательность: $$x_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}$$ 1) Докажите, что $x_n$ ограничена
2) Найдите $\inf{x_n},\ \sup{x_n}$.

Т.к. $x_n$ - сумма положительных слагаемых, значит $x_n$ возврастающая последовательность. Поэтому $\inf{x_n}=\min{x_n}=x_1=\frac{1}{4\cdot1^2-1}=\frac{1}{3}$.

Разложим на простейшие дроби: $$\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$$ Отсюда: $$x_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k+1}\right)$$ Приведем первую сумму к виду $\frac{1}{2l+1}$, чтоб она соответствовала форме второй суммы.
Произведем замену переменной в первой сумме: $$ \begin{aligned} & 2k-1=2l+1 \implies 2k=2l+2 \implies k=l+1\\ & k=1 \implies l+1=1 \implies l=0 \quad (\text{первый индекс суммирования})\\ & k=n \implies l+1=n \implies l=n-1 \quad (\text{последний индекс суммирования})\\ \end{aligned} $$ Подставим $k=l+1$ в первую сумму: $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}=\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{2(l+1)-1}=\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{2l+1}$$ Имеем $$\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{2l+1}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k+1}$$ Теперь приведем первые и последние индексы этих двух сумм. Для этого выделим из первой суммы первое слагаемое, из второй суммы последнее слагаемое: $$ \begin{aligned} & \sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{2l+1}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k+1} = \\ & = \left(1 + \sum_{l=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2l+1}\right)\right)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}\right)+\frac{1}{2n+1}\right) \\ \end{aligned} $$ Таким образом мы получили одинаковые суммы, которые сократятся при раскрытии скобок: $$ \begin{aligned} & \left(1 + \sum_{l=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2l+1}\right)\right)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}\right)+\frac{1}{2n+1}\right) = \\ & = 1 + \sum_{l=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2l+1}\right)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}\right)-\frac{1}{2n+1} = \\ & = 1 - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1}{2n+1} - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \end{aligned} $$ Отсюда следует, что $\sup{x_n}=\sup\left(\frac{1}{2}\frac{2n}{2n+1}\right)=\sup\left(\frac{n}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}$.