Найти предел: $\lim_{n\to{\infty}}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})$.

Для начала заметим, что $(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}) \gt 0$ для всех $n$.
Применим формулу $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt[3]{n+1}, b=\sqrt[3]{n-1}$:
$$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})&=(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})\frac{(\sqrt[3]{n+1})^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+(\sqrt[3]{n-1})^2}{(\sqrt[3]{n+1})^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+(\sqrt[3]{n-1})^2}=\\ &=\frac{n+1-(n-1)}{(\sqrt[3]{n+1})^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+(\sqrt[3]{n-1})^2}=\\ &=\frac{2}{(\sqrt[3]{n+1})^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+(\sqrt[3]{n-1})^2} \end{aligned} $$ Произведем оценку выражения.
Т.к. знаменатель представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, имеем: $$0 \lt \frac{2}{(\sqrt[3]{n+1})^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+(\sqrt[3]{n-1})^2} \lt \frac{2}{(\sqrt[3]{n+1})^2} \lt \frac{2}{(\sqrt[3]{n})^2} = \frac{2}{n^{\frac{2}{3}}}$$ Отсюда следует, что: $$\forall\epsilon\gt{0} \quad 0 \lt \frac{2}{n^{\frac{2}{3}}} \lt \epsilon \ \text{при} \ n \gt \left(\frac{2}{\epsilon}\right)^{\frac{3}{2}}$$ Значит: $$\lim_{n\to{\infty}}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})=0$$