Доказать: $\forall{|q|}\lt0\ \lim_{n\to{\infty}}q^n=0$

Рассмотрим случай $0\lt{q}\lt1$:
$q\lt{1} \implies \frac{1}{q}\gt{1} \implies \frac{1}{q}=(1+a),a\gt{0}$
$\left(\frac{1}{q}\right)^n=(1+a)^n \gt na$ _{(следует из бинома Ньютона)}
$\left(\frac{1}{q}\right)^n \gt na \implies q^n \lt \frac{1}{na}$
Получаем неравенство $0 \lt q^n \lt \frac{1}{na} \implies \lim_{n\to{\infty}}q^n=0$.

Найти предел $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}$ при $a\gt{0}$.

Рассмотрим случай $a\gt{1}$:
$$ \begin{aligned} \sqrt[n]{a}\gt{1} &\implies \sqrt[n]{a}=1+\alpha, \alpha\gt{0} \\ \sqrt[n]{a}&=1+\alpha \\ a &= (1+\alpha)^n = \sum_{k=0}^nC_n^k\alpha^k \quad \text{(бином)} \\ n\alpha &\lt (1+\alpha)^n \quad \text{(второй член бинома)} \\ n\alpha &\lt a \\ \alpha &\lt \frac{a}{n} \\ \\ 0 \lt \alpha \lt \frac{a}{n} &\implies \alpha\to{0} \implies \sqrt[n]{a} \to{1} \end{aligned} $$ Рассмотрим случай $0 \lt a \lt{1}$:
$$ \begin{aligned} & b = \frac{1}{a} \implies b \gt 1 \\ & \sqrt[n]{b} \to 1 \\ & \sqrt[n]{\frac{1}{a}} \to 1 \\ & \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \to 1 \\ & \sqrt[n]{a} \to 1 \end{aligned} $$