• $|a|=|-a|$
• $-|a|\leq{a}\leq{|a|}$
• $|a\cdot{b}|=|a|\cdot{|b|}$
• $|\frac{1}{a}|=\frac{1}{|a|}$
• $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$
• $|a|\leq{b} \Leftrightarrow -b\leq{a}\leq{b}$

$|a+b|\leq{|a|+|b|}$

$$ \begin{align*} -|a|&\leq{a}\leq{|a|} \\ -|b|&\leq{b}\leq{|b|} \\ -|a|+(-|b|)&\leq{a+b}\leq{|a|+|b|} \\ -|a|-|b|&\leq{a+b}\leq{|a|+|b|} \\ -(|a|+|b|)&\leq{a+b}\leq{|a|+|b|} \\ |a+b|&\leq{|a|+|b|} \\ \end{align*} $$

$||a|-|b||\leq{|a-b|}$

$$ \begin{align*} 1. |a+(b-a)|&\leq{|a|+|b-a|} \\ |b|&\leq{|a|+|-a+b|} \\ |b|&\leq{|a|+|-(a-b)|} \\ |b|&\leq{|a|+|a-b|} \\ -|a-b|&\leq{|a|-|b|} \\ \\ 2. |(a-b)+b|&\leq{|a-b|+|b|} \\ |a|&\leq{|a-b|+|b|} \\ |a|-|b|&\leq{|a-b|} \\ \\ 3. -|a-b|&\leq{|a|-|b|}\leq{|a-b|} \\ ||a|-|b||&\leq{|a-b|} \\ \end{align*} $$

$|a-b|\leq{|a|+|b|}$

$$ \begin{align*} |a+(-b)|&\leq{|a|+|(-b)|} \\ |a-b|&\leq{|a|+|b|} \\ \end{align*} $$

$||a|-|b||\leq{|a+b|}$

$$ \begin{align*} ||a|-|(-b)||&\leq{|a-(-b)|} \\ ||a|-|b||&\leq{|a+b|} \\ \end{align*} $$